基本概念

方向导数：是一个数；反映的是\(f(x,y)\)在\(P_0\)点沿方向\(v\)的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。

方向导数

反映的是\(f(x,y)\)在 \(P_0\) 点沿方向 \(v\) 的变化率。

例子如下：

题目

设二元函数\( f(x, y) = x^2 + y^2\)，分别计算此函数在点 \((1, 2)\) 沿方向 \(w=\{3, -4\}\) 与方向 \(u=\{1, 0\}\) 的方向导数。

解：

由于 \(w\) 不是单位向量，因此首先应对其进行单位化：

\[v = w^0 = \frac{w}{|w|} = \left\{ \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right\}\]

计算函数增量：

\[\begin{aligned} \therefore f(x_0 + tv_1, y_0 + tv_2) - f(x_0, y_0) &= f\left(1 + \frac{3}{5}t, 2 - \frac{4}{5}t\right) - f(1, 2) \\ &= \left[ \left(1 + \frac{3}{5}t\right)^2 + \left(2 - \frac{4}{5}t\right)^2 \right] - (1^2 + 2^2) \\ &= t^2 - 2t \end{aligned}\]

计算沿 \(w\)方向的导数：

\[\therefore \left. \frac{\partial f}{\partial w} \right|_{(1,2)} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 - 2t}{t} = -2\]

计算沿 \(u\) 方向的导数(\(u\) 已是单位向量）：

\[\begin{aligned} \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{(1,2)} &= \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t, 2) - f(1, 2)}{t} \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{t^2 + 2t}{t} \\ &= 2 \end{aligned}\]

方向导数计算公式

若函数 \(u = f(x, y, z)\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处可微，则函数 \(f(X)\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处沿任一方向 \(l^0 = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 的方向导数存在，且为：

\[\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma\]

其中，各导数均为在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的值。

偏导数

\(f'_x(x_0, y_0)\) 与 \(f'_y(x_0, y_0)\) 的含义

由于二元函数的两个偏导数就是函数沿两个坐标轴方向的方向导数，而依方向导数的定义知方向导数是函数沿给定方向的变化率，所以有

\(f'_x(x_0, y_0)\) 反映的是函数 \(f(x, y)\) 沿 \(x\) 轴方向的变化率

\(f'_y(x_0, y_0)\) 反映的是函数 \(f(x, y)\) 沿 \(y\) 轴方向的变化率

二元函数偏导数的几何意义

\[\because f'_x(x_0, y_0) = f'(x, y_0) \Big|_{x=x_0}\]

且

\[z = f(x, y_0) = \begin{cases} z = f(x, y) \\ y = y_0 \end{cases}\]

即 \(z = f(x, y_0)\) 是曲面 \(z = f(x, y)\) 与平面 \(y = y_0\) 的交线

而一元函数在某点导数的几何意义是曲线在该点切线斜率

\(\therefore f'_x(x_0, y_0)\) 是 \(z = f(x, y)\) 与 \(y = y_0\) 的交线在点 \(P_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) 处切线 \(T_x\) 的斜率

即 \(f'_x(x_0, y_0) = \tan \alpha\)，其中 \(\alpha\) 为切线 \(T_x\) 与 \(x\) 轴正向的夹角

类似地有 \(f'_y(x_0, y_0)\) 是 \(z = f(x, y)\) 与 \(x = x_0\) 的交线在点 \(P_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) 处切线 \(T_y\) 的斜率

即 \(f'_y(x_0, y_0) = \tan \beta\)，其中 \(\beta\) 为切线 \(T_y\) 与 \(y\) 轴正向的夹角

偏导函数

偏导数与偏导函数的关系：

偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。

若 \(z=f(x, y)\) 在平面区域 \(D\) 内每一点均存在偏导数，则偏导数是关于点的函数，称为偏导函数，记作

\[\frac{\partial f}{\partial x}, f'_x, f'_1 \text{ 或 } \frac{\partial z}{\partial x}, z'_x, z'_1 \quad z'_x = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x}\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}, f'_y, f'_2 \text{ 或 } \frac{\partial z}{\partial y}, z'_y, z'_2 \quad z'_y = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y}\]

全微分

全微分的微分形式为：

\[dz|_{(x_0, y_0)} = f'_x(x_0, y_0)dx + f'_y(x_0, y_0)dy\]

全微分函数：

\[dz = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy\]

\(n\)元函数全微分：设 \(u = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)\)，则有

\[du = f'_{x_1}dx_1 + f'_{x_2}dx_2 + \cdots + f'_{x_n}dx_n\]

求下列函数的全微分：

\[z = xy^3 + x^3 y\]

解：

\[\because z'_x = y^3 + 3x^2 y, \quad z'_y = 3xy^2 + x^3\]

\[\therefore dz = z'_x dx + z'_y dy = (y^3 + 3x^2 y)dx + (3xy^2 + x^3)dy\]

梯度

梯度是一个向量；既有大小，也有方向。

定义：设 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 处存在偏导数 \(f'_x(x_0, y_0)\) 和 \(f'_y(x_0, y_0)\)，则称向量 \(\{f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\}\) 为 \(f(x,y)\) 在 \(P_0(x_0, y_0)\) 的梯度，记作

\[\nabla f \big|_{P_0}, \nabla z \big|_{P_0}, \text{grad} f \big|_{P_0} \text{ 或 } \text{grad} z \big|_{P_0}\]

\(\therefore\) 依定义有 \(\nabla f \big|_{P_0} = \text{grad} f \big|_{P_0} = \{f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\}\)

梯度函数：若 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 内处处存在偏导数，则称\(\nabla f = \{f'_x(x,y), f'_y(x,y)\}\) 为 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 内的梯度函数
1. 梯度的大小：\(|\nabla f| = \sqrt{[f'_x(x,y)]^2 + [f'_y(x,y)]^2}\)
2. 梯度的方向：

设 \(v=\{v_1, v_2\}\) (\(|v|=1\)) 是任一给定方向，则对 \(\nabla f\) 与 \(v\) 的夹角 \(\theta\) 有：

\[\begin{aligned} \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{P_0} &= f'_x(x_0, y_0)v_1 + f'_y(x_0, y_0)v_2 \\ &= \{f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\} \cdot \{v_1, v_2\} \\ &= \nabla f \big|_{P_0} \cdot v = |\nabla f| \big|_{P_0} \cos \theta \end{aligned}\]

几何意义

函数\(z=f(x,y)\)在点\(P_0\)处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。

设 \(f(x,y)=xy^2\)，求 \(f(x,y)\) 在点 \((1,-1)\) 处沿任意方向 \(v=\{v_1, v_2\}\) (\(|v|=1\)) 的方向导数，并指出方向导数的最大值和取得最大值方向的单位向量；

解：

\[\because f'_x(x,y)=y^2, f'_y(x,y)=2xy\]

\[\therefore \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{(1,-1)} = f'_x(1,-1)v_1 + f'_y(1,-1)v_2 = v_1 - 2v_2\]

因为沿梯度方向的方向导数最大，并且最大方向导数为梯度的长度，而

\[\nabla f \big|_{(1,-1)} = \{f'_x(1,-1), f'_y(1,-1)\} = \{1, -2\}, \quad |\nabla f| \big|_{(1,-1)} = \sqrt{5}\]

\(\therefore f(x,y)\) 在 \((1,-1)\) 点方向导数最大值为 \(\sqrt{5}\)

取得最大值方向的单位向量为：

\[v = \frac{\nabla f \big|_{(1,-1)}}{|\nabla f| \big|_{(1,-1)}} = \frac{\{1, -2\}}{\sqrt{5}} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right\}\]

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方向导数与梯度