DDPM 有一个非常明显的问题：采样过程很慢。因为 DDPM 的反向过程利用了马尔可夫假设，所以每次都必须在相邻的时间步之间进行去噪，而不能跳过中间步骤。原始论文使用了 1000 个时间步，所以我们在采样时也需要循环 1000 次去噪过程，这个过程是非常慢的。

为了加速 DDPM 的采样过程，DDIM 在不利用马尔可夫假设的情况下推导出了 diffusion 的反向过程，最终可以实现仅采样 20～100 步的情况下达到和 DDPM 采样 1000 步相近的生成效果，也就是提速 10～50 倍。这篇文章将对 DDIM 的理论进行讲解，并实现 DDIM 采样的代码。

DDPM 的反向过程

首先我们回顾一下 DDPM 反向过程的推导，为了推导出 \(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t)\) 这个条件概率分布，DDPM 利用贝叶斯公式将其变成了先验分布的组合，并且通过向条件中加入 $\mathbf{x}_0 $ 将所有的分布转换为已知分布：

在上边这个等式的右侧， \(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_0)\) 和\(q(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_0)\) 都是已知的，需要求解的只有 \(q(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_{t-1},\mathbf{x}_0)\)。在这里 DDPM 引入马尔可夫假设，认为 \(\mathbf{x}_t\) 只与 \(\mathbf{x}_{t-1}\) 有关，将其转化成了 \(q(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_{t-1})\)。最后经过推导，得出条件概率分布：

推导的路线归纳如下：

我们可以看到之所以 DDPM 很慢，就是因为在推导 \(q(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_{t-1},\mathbf{x}_0)\) 的时候引入了马尔可夫假设，使得去噪只能在相邻时间步之间进行。如果我们可以在不依赖马尔可夫假设的情况下推导出 \(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\)，就可以将上面式子里的 \(t-1\) 替换为任意的中间时间步 \(\tau\)，从而实现采样加速。总结来说，DDIM 主要有两个出发点：

1. 保持前向过程的分布 \(q(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_{t-1})=\mathcal{N}\left(\mathbf{x}_t;\sqrt{\bar{\alpha}_t}\mathbf{x}_0,(1-\bar{\alpha}_t)\mathbf{I}\right)\) 不变；
2. 构建一个不依赖于马尔可夫假设的 \(q(\mathbf{x}_\tau|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\) 分布。

\(q(\mathbf{x}_\tau|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\) 的推导

开始推导之前简单说明一下，这个 \(q(\mathbf{x}_\tau|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\) 实际上就是上一章中提到的 \(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\)，只不过是因为我们的推导不再依赖马尔可夫假设，所以 \(t-1\) 可以替换为任意的 \(\tau\in(0,t)\)。为了避免混淆，我们在这里使用一个通用的符号 \(\tau\in(0,t)\) 表示中间的时间步。

另一点需要说明的是，在 DDIM 的论文中， \(\alpha\) 表示的含义和 DDPM 论文中的 \(\bar{\alpha}\) 相同。为了保证前后一致，我们在这里依然使用 DDPM 的符号约定，令 \(\alpha_t=1-\beta_t\)，\(\bar{\alpha}_t=\prod_{i=1}^t\alpha_i\)。

我们在 DDPM 里已经推导出了 \(q(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\) 是一个高斯分布，均值和方差为：

没有给定\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\)怎么能得到\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\)？这其实是思维过于定式了，理论上在没有给定\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\)的情况下，\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\) 的解空间更大，某种意义上来说是更加容易推导，此时它只需要满足边际分布条件：

我们用待定系数法来求解这个方程。在DDPM中，所解出的\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\)是一个正态分布，而且可以看到均值是 \(\mathbf{x}_0\) 与 \(\mathbf{x}_t\) 的线性组合，方差是时间步的函数。所以这一次我们可以更一般地设DDIM 基于这样的规律，使用待定系数法：

其中\(\kappa_t,\lambda_t,\sigma_t\)都是待定系数，而为了不重新训练模型，我们不改变\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_0)和p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)，于是我们可以列出

其中\(\boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})\)，并且由正态分布的叠加性我们知道\(\kappa_t\bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1 + \sigma_t \boldsymbol{\varepsilon}_2\sim \sqrt{\kappa_t^2\bar{\beta}_t^2 + \sigma_t^2} \boldsymbol{\varepsilon}\)。对比\(\boldsymbol{x}_{t-1}\)的两个采样形式，我们发现要想公式1成立，只需要满足两个方程

可以看到有三个未知数，但只有两个方程，这就是为什么说没有给定\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\)时解空间反而更大了。将\(\sigma_t\)视为可变参数，可以解出

或者写成

方便起见，我们约定\(\bar{\alpha}_0=1, \bar{\beta}_0=0\)。特别地，这个结果并不需要限定\(\bar{\alpha}_t^2 + \bar{\beta}_t^2 = 1\)，不过为了简化参数设置，同时也为了跟以往的结果对齐，这里还是约定\(\bar{\alpha}_t^2 + \bar{\beta}_t^2 = 1\)。

在上边的结果中，我们得到了 \(q(\mathbf{x}_\tau|\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_0)\) 均值中的两个参数，而方差 \(\sigma_t^2\) 并没有唯一定值，因此这个结果对应于一组解，通过规定不同的方差，可以得到不同的采样过程。

接下来的事情，就跟上一篇文章一模一样了：我们最终想要\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)\) 而不是\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\)，所以我们希望用

来估计 \(\boldsymbol{x}_0\)，由于没有改动\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)，所以训练所用的目标函数依然是\(\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\)（除去权重系数），也就是说训练过程没有改变，我们可以用回DDPM训练好的模型。而用\(\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\)替换掉式4中的\(\boldsymbol{x}_0\)后，得到

这就求出了生成过程所需要的\(p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)\)，其中\(\alpha_t=\frac{\bar{\alpha}_t}{\bar{\alpha}_{t-1}}\)。它的特点是训练过程没有变化（也就是说最终保存下来的模型没有变化），但生成过程却有一个可变动的参数\(\sigma_t\)，就是这个参数给DDPM带来了新鲜的结果。

方差取值的几个例子

原则上来说，我们对\(\sigma_t\)没有过多的约束，但是不同\(\sigma_t\)的采样过程会呈现出不同的特点，我们举几个例子进行分析。

第一个简单例子就是取\(\sigma_t = \frac{\bar{\beta}_{t-1}\beta_t}{\bar{\beta}_t}\)，其中\(\beta_t = \sqrt{1 - \alpha_t^2}\)，相应地有

这就是上一篇文章所推导的DDPM。特别是，DDIM论文中还对 \(\sigma_t = \eta\frac{\bar{\beta}_{t-1}\beta_t}{\bar{\beta}_t}\)做了对比实验，其中\(\eta\in[0, 1]\)。

第二个例子就是取\(\sigma_t = \beta_t\)，这也是前两篇文章所指出的\(\sigma_t\)的两个选择之一，在此选择下式6未能做进一步的化简，但DDIM的实验结果显示此选择在DDPM的标准参数设置下表现还是很好的。

最特殊的一个例子是取\(\sigma_t = 0\)，此时从\(\boldsymbol{x}_t\)到\(\boldsymbol{x}_{t-1}\)是一个确定性变换

这也是DDIM论文中特别关心的一个例子，准确来说，原论文的DDIM就是特指\(\sigma_t=0\)的情形，其中“I”的含义就是“Implicit”，意思这是一个隐式的概率模型，因为跟其他选择所不同的是，此时从给定的\(\boldsymbol{x}_T = \boldsymbol{z}\) 出发，得到的生成结果\(\boldsymbol{x}_0\)是不带随机性的。后面我们将会看到，这在理论上和实用上都带来了一些好处。

加速生成

值得指出的是，在这篇文章中我们没有以\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\) 为出发点，所以前面的所有结果实际上全都是以\(\bar{\alpha}_t,\bar{\beta}_t\)相关记号给出的，而\(\alpha_t,\beta_t\)则是通过\(\alpha_t=\frac{\bar{\alpha}_t}{\bar{\alpha}_{t-1}}\)和\(\beta_t = \sqrt{1 - \alpha_t^2}\)派生出来的记号。从损失函数\(\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\)可以看出，给定了各个\(\bar{\alpha}_t\)，训练过程也就确定了。

从这个过程中，DDIM进一步留意到了如下事实：

高观点2： DDPM的训练结果实质上包含了它的任意子序列参数的训练结果。

具体来说，设\(\boldsymbol{\tau} = [\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_{\dim(\boldsymbol{\tau})}]\)是\([1,2,\cdots,T]\)的任意子序列，那么我们以\(\bar{\alpha}_{\tau_1},\bar{\alpha}_{\tau_2},\cdots,\bar{\alpha}_{\dim(\boldsymbol{\tau})}\) 为参数训练一个扩散步数为\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步的DDPM，其目标函数实际上是原来以\(\bar{\alpha}_1,\bar{\alpha}_2,\cdots,\bar{\alpha}_T\) 的T步DDPM的目标函数的一个子集！所以在模型拟合能力足够好的情况下，它其实包含了任意子序列参数的训练结果。

那么反过来想，如果有一个训练好的T步DDPM模型，我们也可以将它当成是以\(\bar{\alpha}_{\tau_1},\bar{\alpha}_{\tau_2},\cdots,\bar{\alpha}_{\dim(\boldsymbol{\tau})}\) 为参数训练出来的\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步模型，而既然是\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步的模型，生成过程也就只需要\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步了，根据式6有：

这就是加速采样的生成过程了，从原来的T步扩散生成变成了\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步。要注意不能直接将式式6的\(\alpha_t\) 换成\(\alpha_{\tau_i}\)，因为我们说过\(\alpha_t\)是派生记号而已，它实际上等于\(\frac{\bar{\alpha}_t}{\bar{\alpha}_{t-1}}\)，因此\(\alpha_t\)要换成\(\frac{\bar{\alpha}_{\tau_i}}{\bar{\alpha}_{\tau_{i-1}}}\)才对。同理，\(\tilde{\sigma}_{\tau_i}\)也不是直接取\(\sigma_{\tau_i}\)，而是在将其定义全部转化为\(\bar{\alpha},\bar{\beta}\)符号后，将 \(t\) 替换为\(\tau_i\)、\(t-1\)替换为\(\tau_{i-1}\)，比如式7对应的\(\tilde{\sigma}_{\tau_i}\)为

可能读者又想问，我们为什么干脆不直接训练一个\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步的扩散模型，而是要先训练\(T > \dim(\boldsymbol{\tau})\)步然后去做子序列采样？笔者认为可能有两方面的考虑：一方面从\(\dim(\boldsymbol{\tau})\)步生成来说，训练更多步数的模型也许能增强泛化能力；另一方面，通过子序列\(\boldsymbol{\tau}\)进行加速只是其中一种加速手段，训练更充分的T步允许我们尝试更多的其他加速手段，但并不会显著增加训练成本。

此外，对于\(\sigma_t=0\)时的DDIM，它就是将任意正态噪声向量变换为图片的一个确定性变换，这已经跟GAN几乎一致了，所以跟GAN类似，我们可以对噪声向量进行插值，然后观察对应的生成效果。但要注意的是，DDPM或DDIM对噪声分布都比较敏感，所以我们不能用线性插值而要用球面插值，因为由正态分布的叠加性，如果\(\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})，\lambda\boldsymbol{z}_1 + (1-\lambda)\boldsymbol{z}_2\)一般就不服从\(\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\)，要改为

DDIM 区别于 DDPM 的两个特性

1. 采样一致性：我们知道 DDIM 的采样过程是确定的，生成结果只受 \(\mathbf{x}_T\) 影响。作者经过实验发现对于同一个 \(\mathbf{x}_T\) ，使用不同的采样过程，最终生成的 \(\mathbf{x}_0\) 比较相近，因此 \(\mathbf{x}_T\) 在一定程度上可以看作 \(\mathbf{x}_0\) 的一种嵌入。
2. 语义插值效应：根据上一条性质， \(\mathbf{x}_T\) 可以看作 \(\mathbf{x}_0\) 的嵌入，那么它可能也具有其他隐概率模型所具有的语义差值效应。作者首先选取两个隐变量 \(\mathbf{x}_T^{(0)}\) 和 \(\mathbf{x}_T^{(1)}\)，对其分别采样得到结果，然后使用球面线性插值得到一系列中间隐变量，这个插值定义为：

微分方程

最后，我们来重点分析一下\(\sigma_t = 0\)的情形。此时公式8可以等价地改写成：

当\(T\)足够大，或者说\(\alpha_t\)与\(\alpha_{t-1}\)足够小时，我们可以将上式视为某个常微分方程的差分形式。特别地，引入虚拟的时间参数s，我们得到

不失一般性，假设\(s\in[0,1]\)，其中\(s=0\)对应\(t=0、s=1\)对应\(t=T\)。注意DDIM原论文直接用\(\frac{\bar{\beta}(s)}{\bar{\alpha}(s)}\)作为虚拟时间参数，这原则上是不大适合的，因为它的范围是\([0,\infty)\)，无界的区间不利于数值求解。

那么现在我们要做的事情就是在给定\(\boldsymbol{x}(1)\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})\)的情况下，去求解出\(\boldsymbol{x}(0)\)。而DDPM或者DDIM的迭代过程，对应于该常微分方程的欧拉方法。众所周知欧拉法的效率相对来说是最慢的，如果要想加速求解，可以用Heun方法、R-K方法等。也就是说，将生成过程等同于求解常微分方程后，可以借助常微分方程的数值解法，为生成过程的加速提供更丰富多样的手段。

以DDPM的默认参数\(T=1000、\alpha_t = \sqrt{1 - \frac{0.02t}{T}}\)为例，我们重复DDPM所做的估计

事实上，由于每个\(\alpha_k\) 都很接近于1，所以上述估计其实也是一个很好的近似。而我们说了本文的出发点是\(p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\)，所以应该以\(\bar{\alpha}_t\) 为起点，根据上述近似，我们可以直接简单地取

如果取\(s=t/T\)为参数，那么正好\(s\in[0,1]\)，此时\(\bar{\alpha}(s)=e^{-5s^2}\)，代入到式13化简得

也可以取\(s=t^2/T^2\)为参数，此时也有\(s\in[0,1]\)，以及\(\bar{\alpha}(s)=e^{-5s}\)，代入到式13化简得

DDIM 的代码实现

从上面的推导过程可以发现，DDIM 假设的前向过程和 DDPM 相同，只有采样过程不同。因此想把 DDPM 改成 DDIM 并不需要重新训练，只要修改采样过程就可以了。我们已经训练好了一个 DDPM 模型，这里我们继续用这个训练好的模型来构造 DDIM 的采样过程。

我们把训练好的 DDPM 模型的权重加载进来用作噪声预测网络：

 from diffusers import UNet2DModel

 model = UNet2DModel.from_pretrained('ddpm-anime-faces-64').cuda()

核心代码

首先我们依然是定义一系列常量， \(\alpha\) 、\(\beta\) 等都和 DDPM 相同，只有采样的时间步不同。我们在这里直接线性选取 20 个时间步，最大的为 999，最小的为 0：

 import torch

 class DDIM:
     def __init__(
         self,
         num_train_timesteps: int = 1000,
         beta_start: float = 0.0001,
         beta_end: float = 0.02,
         sample_steps: int = 20,
     ):
         self.num_train_timesteps = num_train_timesteps
         self.betas = torch.linspace(beta_start, beta_end, num_train_timesteps, dtype=torch.float32)
         self.alphas = 1.0 - self.betas
         self.alphas_cumprod = torch.cumprod(self.alphas, dim=0)
         self.timesteps = torch.linspace(num_train_timesteps - 1, 0, sample_steps).long()

然后是实现采样过程，和 DDPM 一样，我们把需要的公式复制到这里，然后对照着实现：

 import math
 from tqdm import tqdm

 class DDIM:
     ...

     @torch.no_grad()
     def sample(
         self,
         unet: UNet2DModel,
         batch_size: int,
         in_channels: int,
         sample_size: int,
         eta: float = 0.0,
     ):
         alphas = self.alphas.to(unet.device)
         alphas_cumprod = self.alphas_cumprod.to(unet.device)
         timesteps = self.timesteps.to(unet.device)
         images = torch.randn((batch_size, in_channels, sample_size, sample_size), device=unet.device)
         for t, tau in tqdm(list(zip(timesteps[:-1], timesteps[1:])), desc='Sampling'):
             pred_noise: torch.Tensor = unet(images, t).sample

             # sigma_t
             if not math.isclose(eta, 0.0):
                 one_minus_alpha_prod_tau = 1.0 - alphas_cumprod[tau]
                 one_minus_alpha_prod_t = 1.0 - alphas_cumprod[t]
                 one_minus_alpha_t = 1.0 - alphas[t]
                 sigma_t = eta * (one_minus_alpha_prod_tau * one_minus_alpha_t / one_minus_alpha_prod_t) ** 0.5
             else:
                 sigma_t = torch.zeros_like(alphas[0])

             # first term of x_tau
             alphas_cumprod_tau = alphas_cumprod[tau]
             sqrt_alphas_cumprod_tau = alphas_cumprod_tau ** 0.5
             alphas_cumprod_t = alphas_cumprod[t]
             sqrt_alphas_cumprod_t = alphas_cumprod_t ** 0.5
             sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t = (1.0 - alphas_cumprod_t) ** 0.5
             first_term = sqrt_alphas_cumprod_tau * (images - sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t * pred_noise) / sqrt_alphas_cumprod_t

             # second term of x_tau
             coeff = (1.0 - alphas_cumprod_tau - sigma_t ** 2) ** 0.5
             second_term = coeff * pred_noise

             epsilon = torch.randn_like(images)
             images = first_term + second_term + sigma_t * epsilon
         images = (images / 2.0 + 0.5).clamp(0, 1).cpu().permute(0, 2, 3, 1).numpy()
         return images

上面的内容和 DDPM 大同小异，只有计算公式变了，应该没有太多坑，只要看清楚变量就可以了。最后我们执行采样过程：

 ddim = DDIM()
 images = ddim.sample(model, 32, 3, 64)

 from diffusers.utils import make_image_grid, numpy_to_pil
 image_grid = make_image_grid(numpy_to_pil(images), rows=4, cols=8)
 image_grid.save('ddim-sample-results.png')

结果展示

采样速度的确是变快了很多，得到的结果如下图所示：

DDIM 采样结果

感觉总体上采样效果比 DDPM 稍微有所下降，不过也还在可以接受的范围内，算是一种速度-质量的 tradeoff。

语义插值效应复现

语义插值效应也比较简单，只需要修改初始化的$ \mathbf{x}_T$ 即可。根据上文的叙述，我们首先实现球面线性插值：

 import torch

 def slerp(
     x0: torch.Tensor,
     x1: torch.Tensor,
     alpha: float,
 ):
     theta = torch.acos(torch.sum(x0 * x1) / (torch.norm(x0) * torch.norm(x1)))
     w0 = torch.sin((1.0 - alpha) * theta) / torch.sin(theta)
     w1 = torch.sin(alpha * theta) / torch.sin(theta)
     return w0 * x0 + w1 * x1

我们这次要实现的和原论文不同，原论文的插值只在一行内部，我们希望实现一个二维的插值，也就是在一个图片网格中，从左上角到右下角存在一个渐变效果。为此，我们需要先构建一个二维的图片网格，然后按以下的步骤完成二维插值：