从 NLP 入手

背景

NCE，也就是 Noise Contrastive Noise（噪声对比估计），在 “Noise-contrastive estimation: A new estimation principle for unnormalized statistical models“ 这篇论文中被提出，但是这篇论文的阐述的不太便于理解，并且论文中估计的是概率密度函数（pdf, probability density function）。而 NLP 中的 word 或 vision 中的 pixel 都是离散的，且我们感兴趣的是的概率质量函数（pmf, probability mass function），这篇 “A fast and simple algorithm for training neural probabilistic language models“ 论文中就是在使用 NCE 时假设了离散分布，并用 pmf 代替其中 pdf，然后将 NCE 应用到 NLP 领域。

n-gram

语言模型（language model）就是假设一门语言所有可能的句子服从一个概率分布，每个句子出现的概率加起来是1，那么语言模型的任务就是预测每个句子在语言中出现的概率。如果把句子 \(s\) 看成单词 \(w\) 的序列 \(s=\{w_1,w_2,...,w_m\}\)，那么语言模型就是建模一个\(p(w_1,w_2,...,w_m)\) 来计算这个句子 \(s\) 出现的概率，直观上我们要得到这个语言模型，基于链式法则可以表示为每个单词出现的条件概率的乘积，我们将条件概率的条件 \((w_1,w_2,...,w_{i-1})\) 称为单词 \(w_i\) 的上下文，用 \(c_i\) 表示。

可以看到，language model 就是条件概率 \(p(w|c)\) 的集合，但是直接计算每个 \(w\) 在语料库中的条件概率是需要很大计算量的。因此在统计语言模型中，引入了马尔可夫假设，即“一个词出现的概率只与它前面出现的有限的一个或者 n 个词有关”，将这 \(n\) 个词称为一个 gram，这就是著名的 n-gram 模型，因此可以将模型简化为：

最大似然估计

上面的 n-gram 构建语言模型的方法实际上就是，将一个训练语料库中的每个 \(w_i\) 和它的 \(c_i\) (也就是由前面n个 \(w\) 构成)的条件概率计算出来并储存（实际操作上是统计每个gram出现的次数），然后下一次计算某个句子的出现的概率时，即 (2) 式，就在存储中找到这个句子中出现的 \(w\) 和 \(c\) 的条件概率，然后乘起来即可。因此，我们是否可以不事先计算并存储每个 \(w\) 和 \(c\) 条件概率，而是建立一个模型(或者说函数)，给这个模型一组 \(w\) 和 \(c\) 就能输出它们的条件概率。

在机器学习领域有一个方法是：对所要考虑的问题建模后为其构造一个目标函数，然后对这个目标函数进行优化，从而求得一组最优的参数，最后利用这组最优参数对应的模型进行预测，也就是最大似然估计。

在建模统计语言模型时，利用最大似然估计，根据 (1) 式目标函数，我们可以写出其对数似然函数如下：

然后最大化对数似然函数 \(L_{MLE}\) ，实际上这样就是将 \(p(w|c)\) 看成 \(w\) 和 \(c\) 的函数， \(\theta\) 为待定参数集：

这样一旦最优参数集 \(\theta^*\) 可以确定，函数 \(F\) 就被唯一确定，那么对于任何概率 \(p(w|c)\) 都可以用函数 \(F(w,c;\theta^*)\) 来计算了。

神经概率语言模型

上面的方法似然看起来很美好，但其中有两个问题：

如何构造一个好的函数 \(F\) 。
最大似然估计虽然理论上简单可行，但对于某些模型，在实际计算时可能需要很大的计算量，因此未必容易。
首先来看第一个问题，这也就是我们为什么引入神经网络，因为神经网络理论上可以表示任何函数，那么通过训练，肯定能找到这个合适的 \(F\)，因此 Bengio 等人在 2003 年 A Neural Probabilistic Language Model 中提出了神经概率语言模型（NPLM）。其不在受限于 gram 的大小，可以在包含任意大小上下文的情况下建模 \(w\) 的条件概率。

具体来看，它把语言模型的建立当作一个多分类问题，我们用 \(V=\{v_1,v_2,...,v_{|V|}\}\) 表示一个包含所有单词的单词库，其大小为 \(|V|\)，将 \((w,c)\) 当成一对训练样本（实际上 \(w\) 会转换成词向量，这里不做详解），通过神经网络后和 softmax 后，输出一个向量 \(\hat{y}=[\hat{y}_{i,1},\hat{y}_{i,2},...,\hat{y}_{i,|V|}]\), 其中每一维 \(\hat{y}_{i,j}=p(v_j|c_i)\)表示上下文为 \(c_i\)时第 \(i\) 个单词 \(w_i\) 是单词库中第 \(j\)个单词 \(v_j\) 的概率，训练过程要求最后单词库中概率最大的单词就是训练样本对中的 \(w_i\)。这样训练结束后，给神经网络一个上下文 \(c_l=(w_1,w_2,...,w_{l-1})\)，神经网络就能预测在当前上下文 \(c_l\) 时，下一个单词 \(w_l\) 是单词库中的各个词的概率 \(p(w_l|c_l)\)，通过这个我们也就可以构建语言模型。

我们知道，这种方法本质上就是拟合一个 \(w\) 和 \(c\) 的函数 \(F\)，或者说建立一个参数集为 \(\theta\) 条件概率分布 \(p_\theta(w|c)\)，只要给出当前上下文 \(c\) ，我们就能够直接计算下一个单词 \(w\)的概率。

假设输入到 softmax 前的结果用 \(s_\theta(w,c)\)表示，实际上 \(s_\theta(w,c)\)是有含义的，它是一个 scoring function ，输出的分数用来量化 \(w\) 在上下文 \(c\) 中匹配性，那么 \(w\) 条件概率可以表示为以下形式：

式中，\(u_\theta(w,c)=exp(s_\theta(w,c))\) 表示下一个单词是这个 \(w\) 在单词库中的概率；令 \(Z(c)=\sum_{w^{'}\in V}exp(s_\theta(w^{'},c))\) 表示当前单词库中所有单词的概率的累和，通常将这一项叫做“配分函数”或“归一化因子”。一般来说，单词库 \(|V|\)的数量是非常巨大的，因此计算 \(Z(c)\) 是非常昂贵、耗时的一件事，这也就是 NCE 要解决的问题。（见附录1）

如果我们不考虑\(s_\theta(w,c)\) 的具体形式，那么 (5) 式实际上就可以当作我们在 (4)式中所构造的函数 \(F\)的表达式，既然如此，那我们接着用最大似然估计的方式来试着求解 \(F\) 的参数 \(\theta\)。我们将从句子 \(s\)中取样的 \(w\) 看成经验分布(数据分布) \(\widetilde{p}(w|c)\)，(3)式中的\(L_{MLE}\) 可以写成：

现在要最大化 \(L_{MLE}\) ，那么将其关于 \(\theta\) 求导：

这里解释一下上面到最后一步的转换，因为\(Z(c)=\sum_{w^{'}\in V}exp(s_\theta(w,c))\) ，其中 \(w^{'}\) 为单词库 \(V\)中所有的单词，而单词库其中每个单词的概率由 \(p_\theta(w|c)\) 产生，因此 \(w^{'} \sim p_\theta(w|c)\)，与经验分布\(w\sim \widetilde{p}(w|c)\) 不相关，所以可以把期望 \(\mathbb{E}_{w\sim\widetilde{p}(w|c)}\)去掉。

(7)式结果中的 \(\frac{\partial}{\partial\theta}logZ(c)\)计算如下：

将 (8) 式结果带回 (7) 式中得：

最大似然好像很容易，但是实际上还是绕不开对“归一化常数”的计算，所以就需要 NCE 登场了。

什么是 NCE

上一节中说明了计算\(Z(c)\) 非常昂贵这个问题需要解决，一个简单的思路是将 \(Z(c)\) 也看成模型的一个参数 \(Z_c\) 来进行训练，但是这种方法不适合于上面提到的最大似然估计，因为由 (6) 式可以看出来，它会直接将 \(Z_c\) 趋于 0 来获得最大似然。因此，有人利用这个思想提出了一些不定义 \(Z(c)\)，直接用\(u_\theta(w,c)\) 估计模型的方法，如 contrastive divergence (Hinton, 2002) 和 score matching (Hyvarinen, 2005)。（见附录2）

而 NCE 不同于上面两种方法，它是通过最大化同一个目标函数来估计模型参数 \(\theta\) 和归一化常数，NCE 的核心思想就是通过学习数据分布样本和噪声分布样本之间的区别，从而发现数据中的一些特性，因为这个方法需要依靠与噪声数据进行对比，所以称为“噪声对比估计（Noise Contrastive Estimation）”。更具体来说，NCE 将问题转换成了一个二分类问题，分类器能够对数据样本和噪声样本进行二分类，而这个分类器的参数 \(\theta\) 就等价于上一节中我们想要得到\(\theta\)。（见附录3）

现在假设一个特定上下文 \(c\) 的数据分布为 \(\widetilde{p}(w|c)\)，我们称从它里面取出的样本为正样本，令类别\(D=1\)；而另一个与 \(c\) 无关的噪声分布为 \(q(w)\) ，我们称从里面取出的样本为负样本，令类别为 \(D=0\)。遵循 Gutmann and Hyvrinen (2012) 中的设置，假设现在取出了 \(k_d\) 个正样本和 \(k_n\)个负样本，将这些正负样本混合形成一个混合分布 \(p(w|c)\)。我们得到下面这些概率:

所以可以计算后验概率:

我们令负样本和正样本的比例为： \(k=\frac{k_d}{k_n}\) ，则有：

现在我们观察(12)式，NCE 所做的事情就是将式中的经验分布 \(\widetilde{p}(w|c)\) 替换成概率模型 \(p_\theta(w|c)\)，使后验概率成为参数为 \(\theta\) 的函数。但问题是这样现在这样的形式还是需要计算\(Z(c)\)，我们只是将原来问题进行了一定的转换从而引入了噪声分布。为了解决这个问题，NCE 做了两个设定：

一个就是前面提到的，将 \(Z(c)\) 作为一个参数 \(Z_c\) 来进行估计，相当于引进了一个新的参数。
第二个是，事实证明(Mnih and Teh, 2012)，对于参数很多的神经网络来说，我们将 \(Z_c\) 固定为 1 对每个 \(c\) 仍是有效的。
第二个设定，即减少了参数的数量，又使模型的输出符合”归一化“的性质（即 \(Z_c \approx1\)），是很合理的，如果 \(Z_c\approx1\)，由(5) 式可以得到 \(p_\theta(w|c)=u_\theta(w|c)\), 那么 (12) 式可以写成如下形式，即具有参数 \(\theta\) 的后验概率：

现在我们有了参数为 \(\theta\) 的二元分类问题，假设标签 \(D_t\) 为伯努利分布，那么很容易写出他的条件对数似然 \(L_{NCE}^c\) 如下，实际上在它前面加上负号后，\(-L_{NCE}^c\) 也就等价于 logistics 分类里的 log loss，或者说交叉熵损失函数：

而 NCE 的目标函数还需要在 (14) 式的基础上除以正样本的数量 \(k_d\) ，即

当数据数量很大时，根据大数定律，上式也可以写成：

要最大化上述对数似然函数，也就是最大化如下目标函数：

NCE 目标函数中的 \(k\) 实际上就是在设置“二分类问题”时，选取的负样本与正样本的比例，通常的做法会默认正样本数量为 1 ，然后将负样本的数量 \(k\) 作为一个手动输入的参数，从而确定这个比例 \(k\)。在TensorFlow 的相关源码中，正样本的数量 num_true 默认值为1，如果设置大于 1，那么会进行一个 \(1/num\_true\)的归一化。

可以看到实际上这个比例 \(k\) 对我们的 NCE 优化是有影响的，所以 NCE 的作者也考虑了什么样的比例 \(k\) 是最好的，我这里就直接说结论了，有兴趣的可以看详细看下这篇论文Gutmann and Hyvrinen (2012) 。结论是：对于设置的噪声分布 \(q(w)\)，我们实际上是希望它尽量接近数据分布 \(\widetilde{p}(w|c)\)，否则这个二分类任务就过于简单了，也就无法很好的学到数据特性。而作者通过实验和推导证明（我在第三节中也会简单的证明），当负样本和正样本数量之比 \(k\)越大，那么我们的 NCE对于噪声分布好坏的依赖程度也就越小。换句话说，作者建议我们在计算能力运行的条件下，尽可能的增大比值 \(k\)。也许这也就是大家都默认将正样本数量设置为 1 的原因：正样本至少取要 1 个，所以最大化比值 \(k\)，也就是尽可能取更多负样本的同时，将正样本数量取最小值 1。另外，如果我们希望目标函数不是只针对一个特定的上下文 \(c\)，而是使不同的上下文可以共享参数，也就是设置一批上下文的全局目标函数：

到这，NCE 的构建就完成了，总结一下就是：从上下文 \(c\) 中取出单词作为正样本，从噪声分布中取出单词作为负样本，正负样本数量比为 \(1:k\) ，然后训练一个二分类器，通过一个类似于交叉熵损失函数的目标函数进行训练（如果取正样本数量为 1，那么 (14) 式与 (15) 式等价，NCE 目标函数就等价于交叉熵损失函数）。

NCE 的原理

上面虽然推导了那么多公式，但实际只是按照 NCE 的思想进行问题的转换，那么这样做究竟是否正确呢？根据附录 3 的描述，直觉上看好像是没有问题的。

我们再看回 (17)式，我们对它关于 \(\theta\) 进行求导:

分别对上面的两项进行求导：

将上面两个结果再带回 (19) 式中，并根据前面 \(Z_c\approx1\) 的设定，也就是 \(p_\theta(w|c)=u_\theta(w|c)\) ：

上一节中我们设定了 \(Z_c\approx1\) ，也就是 \(p_\theta(w|c)=u_\theta(w|c)\) ,因此：

这里的参数 k 依然指的是负样本与正样本数量的比例，如果我们令 \(k\to \infin\) 的话，那么：

可以看到，当 k 趋于无穷时， (24) 式中 NCE 目标函数的梯度和 (9) 式中 MLE 对数似然函数梯度是等价的，也就是说我们通过 NCE 转换后的优化目标，本质上就是对极大似然估计方法的一种近似，并且随着负样本和正样本数量比 k 的增大，这种近似越精确，这也解释了为什么作者建议我们将 k 设置的越大越好。

从 NCE 到 InfoNCE

到目前为止，应该对 NCE 的来龙去脉比较清楚了（公式太多，不知道多少人有耐心看到这里了...）。

InfoNCE 是在 Representation Learning with Contrastive Predictive Coding 这篇论文中提出的，这里不会具体介绍 CPC ，而是着重说明如何借鉴 NCE 的思想提出 InfoNCE 并用于 CPC 中的.

简单来说，CPC(对比预测编码) 就是一种通过无监督任务来学习(编码)高维数据的特征表示(representation)，而通常采取的无监督策略就是根据上下文预测未来或者缺失的信息，NLP 中已经利用这种思想来学习 word 的 representation 。

要构建这样的预测任务，一个方法是直接建模条件生成模型 \(p(x_{t+k}|c_t)\)根据当前上下文 \(c_t\) 预测 k 个时刻后的数据 \(x_{t+k}\)（假设是像文本、语音中那样的序列数据）；但作者觉得这样的方法过于针对细节进行重建，并不是很好，于是引入了互信息的思想，认为我们可以通过最大化当前上下文 \(c_t\) 和要未来的数据 \(x_{t+k}\) 之间的互信息来构建预测任务，互信息的表示如下：

我们没办法知道 \(x_{t+k}\) 和 \(c_t\) 之间的联合分布 \(p(x_{t+k},c_t)\)，因此要最大化 \(I(x_{t+k};c_t)\)，就需要从 \(\frac{p(x_{t+k}|c_t)}{p(x_{t+k})}\) 入手，即最大化 \(\frac{p(x_{t+k}|c_t)}{p(x_{t+k})}\)。

那么如何训练 \(\frac{p(x_{t+k}|c_t)}{p(x_{t+k})}\)呢？我们可以把这个比例定义为密度比，那么根据附录 3中的思想，分子\(p(x_{t+k}|c_t)\) 就相当于 \(p_d\) ，是我们想得到的目标函数；分母 \(p(x_{t+k})\) 就相当于 \(p_n\)，是用来进行对比的参考分布(噪声)。因此，我们就可以根据 NCE 中提供的思路，将问题转换为一个二分类的问题，更具体来解释：

从条件 \(p(x_{t+k}|c_t)\) 中取出数据称为“正样本”，它是根据上下文 \(c_t\) 所做出的预测数据，将它和这个上下文一起组成“正样本对”，类别标签设为 1。
将从 \(p(x_{t+k})\) 中取出的样本称为“负样本”，它是与当前上下文 \(c_t\) 没有必然关系的随机数据，将它和这个上下文 \(c_t\) 一起组成“负样本对”，类别标签设为 0。
正样本也就是与 \(c_t\) 间隔固定步长 \(k\) 的数据，根据 NCE 中说明的设定，正样本选取 1 个；因为在 NCE 中证明了噪声分布与数据分布越接近越好，所以负样本就直接在当前序列中随机选取（只要不是那一个正样本就行），负样本数量越多越好。
所以要做的就是训练一个 logistics 分类模型，来区分这两个正负样本对。问题转换后，训练的模型能够“成功分辨出每个正负样本的能力”就等价于“根据 \(c_t\) 预测 \(x_{t+k}\) 的能力”。

根据 NCE 中的设置，现在假设给出一组大小为 \(N\) 的 \(X=\{x_1,...,x_N\}\)，其中包含 1 个从 \(p(x_{t+k}|c_t)\) 中取样正样本和 \(N-1\) 从一个指定分布(用于对比的噪声分布) \(p(x_{t+k})\)，假设第 \(x_i\)是正样本，且 \(i = t+k\)，上下文 \(c_t\) 表示 \(t\) 之前的数据，那么能够正确的同时找到那一个正样本 \(x_{t+k}\)和 \(N-1\) 个负样本的情况可以写成如下形式：

我们最大化上面这个式子，即最大化模型“成功分辨出每个正负样本的能力”，也就是最大化我们定义的密度比，也就是最大化 \(c_t\) 与 \(x_{t+k}\)的互信息。参考 (5)式，可以写出根据\(c_t\)预测 \(x_{t+k}\) 的形式：

在上式中，我们知道 \(s_\theta(x,c)\) 是一个 socring function ，输出的分数用来量化 \(x\) 在上下文 \(c\) 中匹配性；放在这里 \(s_\theta(x_{t+k},c_t)\) 也就是量化对 \(x_{t+k}\) 预测的结果和真实结果的相似程度，CPC 文章中用余弦相似度来量化，并且将 \(exp(s_\theta(x_{t+k},c_t))\) 定义为 \(f(x_{t+k},c_t)\) ，也就是：

现在对比 (26)(28) 两个式子，这两个式子的目标是一致的，也就意味着 \(f_k(x_{t+k},c_t)\) 实际上就可以作为密度比 \(\frac{p(x_{t+k}|c_t)}{p(x_{t+k})}\) 的一种表示形式，它们之间虽不直接等价，但是含义上是正相关的，即：

现在我们的优化目标就是使 (26) 或 (28) 式的结果最大，所以可以写出对应形式的交叉熵损失如下：

上式就是最终得到的 InfoNCE 损失函数了，并且最小化 InfoNCE，也就等价于最大化 \(x_{t+c}\) 和 \(c_t\) 之间互信息的下限，从而做到了我们所要求的最大化 \(I(x_{t+k};c_t)\) ，证明如下，