技术分析

从方法上来看，条件控制生成的方式分两种：事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）。

对于大多数人来说，一个SOTA级别的扩散模型训练成本太大了，而分类器（Classifier）的训练还能接受，所以就想着直接复用别人训练好的无条件扩散模型，用一个分类器来调整生成过程以实现控制生成，这就是事后修改的Classifier-Guidance方案；而对于“财大气粗”的Google、OpenAI等公司来说，它们不缺数据和算力，所以更倾向于往扩散模型的训练过程中就加入条件信号，达到更好的生成效果，这就是事前训练的Classifier-Free方案。

Classifier-Guidance方案最早出自《Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis》，最初就是用来实现按类生成的；后来《More Control for Free! Image Synthesis with Semantic Diffusion Guidance》推广了“Classifier”的概念，使得它也可以按图、按文来生成。Classifier-Guidance方案的训练成本比较低（熟悉NLP的读者可能还会想起与之很相似的PPLM模型），但是推断成本会高些，而且控制细节上通常没那么到位。

至于Classifier-Free方案，最早出自《Classifier-Free Diffusion Guidance》，后来的DALL·E 2、Imagen等吸引人眼球的模型基本上都是以它为基础做的，值得一提的是，该论文已经中了NeurIPS 2021。应该说，Classifier-Free方案本身没什么理论上的技巧，它是条件扩散模型最朴素的方案，出现得晚只是因为重新训练扩散模型的成本较大吧，在数据和算力都比较充裕的前提下，Classifier-Free方案表现出了令人惊叹的细节控制能力。

Classifier Guidance

条件输入

说白了，Classifier-Free方案就是训练成本大，本身“没什么技术含量”，所以接下来的主要篇幅都是Classifier-Guidance方案，而Classifier-Free方案则是在最后简单介绍一下。

生成扩散模型最关键的步骤就是生成过程 $p(x_{t-1}|x_t)$ 的构建，而对于以 $y$ 为输入条件的生成来说，无非就是将 $p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t)$ 换成 $p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$ 而已，也就是说生成过程中增加输入$y$。为了重用已经训练好的无条件生成模型 $p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t)$，我们利用贝叶斯定理得

在每一项上面补上条件$x_t$，就得到

注意，在前向过程中，${\mathbf{x}}_t$ 是由 ${\mathbf{x}}_{t-1}$ 加噪声得到的，噪声不会对分类有帮助，所以 ${\mathbf{x}}_t$ 的加入对分类不会有任何收益，因此有 $p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t)=p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_{t-1})$，从而

近似分布

当 $T$ 足够大时，$p({\mathbf{x}}_t|{\mathbf{x}}_{t-1})$ 的方差足够小，也就是说只有 ${\mathbf{x}}_t与{\mathbf{x}}_{t-1}$ 很接近时概率才会明显大于0。反过来也是成立的，即也只有${\mathbf{x}}_t与{\mathbf{x}}_{t-1}$很接近时$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$或$p({\mathbf{x}}_t|{\mathbf{x}}_{t-1},\mathbf{y})$才明显大于0，我们只需要重点考虑这个范围内的概率变化。为此，我们用泰勒展开：

严格来讲还有一项关于 $t$ 的变化项，但是那一项跟 ${\mathbf{x}}_{t-1}$ 无关，属于不影响 ${\mathbf{x}}_{t-1}$ 概率的常数项，因此我们没有写出。假设原来有$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t)=\mathcal{N}({\mathbf{x}}_{t-1};\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t),{\sigma }_t^2\mathbf{I})\propto e^{-\Vert {\mathbf{x}}_{t-1}-\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t){\Vert }^2/2{\sigma }_t^2}$，那么此时近似地有

从这个结果可以看出，$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$ 近似于$\mathcal{N}({\mathbf{x}}_{t-1};\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t)+{\sigma }_t^2{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t),{\sigma }_t^2\mathbf{I})$，所以只需要把生成过程的采样改为

这就是Classifier-Guidance方案的核心结果。值得注意的是，本文的推导结果跟原论文略有不同，原论文新增项是

也就是梯度项在$\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t)$ 处的结果而非 ${\mathbf{x}}_t$ 处，而一般情况下 $\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t)$ 的零阶近似正是 ${\mathbf{x}}_t$，所以两者结果是差不多的。

梯度缩放

原论文（《Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis》）发现，往分类器的梯度中引入一个缩放参数 $\gamma$，可以更好地调节生成效果：

当 $\gamma >1$ 时，生成过程将使用更多的分类器信号，结果将会提高生成结果与输入信号 $\mathbf{y}$ 的相关性，但是会相应地降低生成结果的多样性；反之，则会降低生成结果与输入信号之间的相关性，但增加了多样性。

怎么从理论上理解这个参数呢？原论文提出将它理解为通过幂操作来提高分布的聚焦程度，即定义

随着$\gamma$的增加，$\tilde{p}(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t)$ 的预测会越来越接近one hot分布，用它来代替 $p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t)$ 作为分类器做Classifier-Guidance，生成过程会倾向于挑出分类置信度很高的样本。

然而，这个角度虽然能提供一定的参考价值，但其实不完全对，因为

原论文错误地认为 **$Z({\mathbf{x}}_t)$ 是一个常数，所以${\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log Z({\mathbf{x}}_t)=0$，但事实上$\gamma \ne 1$ 时，$Z({\mathbf{x}}_t)$ 会显式地依赖于 **${\mathbf{x}}_t$。笔者也继续思考了一下有没有什么补救方法，但很遗憾没什么结果，仿佛只能很勉强地认为$\gamma =1$时（此时$Z({\mathbf{x}}_t)=1$）的梯度性质能近似地泛化到$\gamma \ne 1$的情形。

相似控制

事实上，理解$\gamma \ne 1$的最佳方案，就是放弃从贝叶斯定理来理解$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$，而是直接定义

其中 **$\text{sim}({\mathbf{x}}_{t-1},\mathbf{y})$ 是生成结果${\mathbf{x}}_{t-1}$与条件$\mathbf{y}$的某个相似或相关度量**。在这个角度下，$\gamma$ 直接融于$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$ 的定义中，直接控制结果与条件的相关性，当$\gamma$越大，模型会倾向于生成跟 $\mathbf{y}$ 越相关的 ${\mathbf{x}}_{t-1}$。

为了进一步得到可采样的近似结果，我们可以在${\mathbf{x}}_{t-1}={\mathbf{x}}_t$ 处（也可以在${\mathbf{x}}_{t-1}=\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t)$，跟前面类似）展开

假设此近似程度已经足够，那么除去与${\mathbf{x}}_{t-1}$ 无关的项，我们得到

跟前面一样，代入$p({\mathbf{x}}_{t-1}|{\mathbf{x}}_t)=\mathcal{N}({\mathbf{x}}_{t-1};\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t),{\sigma }_t^2\mathbf{I})$，配方后得到

这样一来，我们就不需要纠结$p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t)$ 的概率意义，而是只需要直接定义度量函数 $\text{sim}({\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$，这里的 $\mathbf{y}$ 也不再是仅限于“类别”，也可以是文本、图像等任意输入信号，通常的处理方式是用各自的编码器将其编码为特征向量，然后用cos相似度：

要指出的是，中间过程的${\mathbf{x}}_t$是带高斯噪声的，所以编码器$E_1$一般不能直接调用干净数据训练的编码器，而是要用加噪声后的数据对它进行微调才比较好。此外，如果做风格迁移的，通常则是用Gram矩阵距离而不是cos相似度，这些都看场景发挥了。以上便是论文

《More Control for Free! Image Synthesis with Semantic Diffusion Guidance》

的一系列结果，更多细节可以自行参考原论文。

连续情形

经过前面的推导，我们得到均值的修正项为 ${\sigma }_t^2\gamma {\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t)$ 或 ${\sigma }_t^2\gamma {\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\text{sim}({\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$，它们都有一个共同特点，就是 ${\sigma }_t=0$ 时，修正项也等于 0，修正就失效了。

那么生成过程的 ${\sigma }_t$ 可以等于0吗？肯定可以，比如 DDIM，就是方差为0的生成过程，这种情况下应该怎样做控制生成呢？此时我们需要用到《生成扩散模型漫谈（六）：一般框架之ODE篇》介绍的基于SDE的一般结果了，在里边我们介绍到，对于前向SDE：

对应的最一般的反向SDE为

这里允许我们自由选择反向方差 ${\sigma }_t^2$，DDPM、DDIM都可以认为是它的特例，其中 ${\sigma }_t=0$ 时就是一般化的DDIM。可以看到，反向SDE跟输入有关的就是 ${\nabla }_{\mathbf{x}}\log p_t(\mathbf{x})$，如果要做条件生成，自然是要将它换成${\nabla }_{\mathbf{x}}\log p_t(\mathbf{x}|\mathbf{y})$，然后利用贝叶斯定理，有

在上边的推导过程中，因为 $p(y)$ 对 $x_t$ 没有梯度，所以有 $\nabla_{\mathbf{x}_t}\log
p(y)=0$。最后得到的式子中，第一项$\nabla_{\mathbf{x}_t}\log
p(\mathbf{x}t)$就是scorefunction，这个已经由diffusionmodel进行学习，可以认为也是已知的。因此，现在仍需要求解的就只剩最后一项$\nabla{\mathbf{x}_t}\log
p(y|\mathbf{x}_t)$。

单看 $p(y|{\mathbf{x}}_t)$，这个表示的是从 $x_t$ 得到类别 $y$ 的概率，这个过程和分类任务的过程是相同的。那么求解这一项可以使用一个非常直接的思路，也就是真的使用一个分类器对 $x_t$ 进行分类，再对分类结果概率分布的 log 求梯度。这样就可以直接得到上面公式里的最后一项，从而实现基于类别对生成进行引导。

在一般的参数化下有 ${\nabla }_{\mathbf{x}}\log p_t(\mathbf{x})=-\frac{{\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,t)}{{\bar{\beta }}_t}$，因此

这就意味着，不管生成方差是多少，我们只需要用 ${\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,t)-{\bar{\beta }}_t{\nabla }_{\mathbf{x}}\log p_t(\mathbf{y}|\mathbf{x})$ 代替 ${\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,t)$ 就可以实现条件控制生成了。因此，在SDE的统一视角下，我们可以非常简单而直接地得到Classifier-Guidance方案的最一般结果。

Classifier-Free Guidance

最后，我们来简单介绍一下Classifier-Free方案。其实很简单，它就是直接定义

沿用前面DDPM的几篇文章的结果，$\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t,\mathbf{y})$ 一般参数化为

训练的损失函数就是

它的优点是在训练过程中就引入了额外的输入$\mathbf{y}$，理论上输入信息越多越容易训练；它的缺点也是在训练过程中就引入了额外的输入$\mathbf{y}$，意味着每做一组信号控制，就要重新训练整个扩散模型。

特别地，Classifier-Free方案也模仿Classifier-Guidance方案加入了$\gamma$ 参数的缩放机制来平衡相关性与多样性。具体来说可以写成：

Classifier-Free方案相当于直接用直接用模型拟合了$\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}_t)+{\sigma }_t^2{\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p(\mathbf{y}|{\mathbf{x}}_t)$，那么类比上式，我们也可以在Classifier-Free方案中引入$w=\gamma -1$ 参数，用

代替${\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,\mathbf{y},t)$ 来做生成。那无条件的 ${\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,t)$ 怎么来呢？我们可以新引入一个特定的输入$\mathbf{\varphi }$，它对应的目标图像为全体图像，加到了模型的训练中，这样我们就可以认为${\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,t)={\mathbf{ϵ}}_{\mathbf{\theta }}({\mathbf{x}}_t,\mathbf{\varphi },t)$了。

小结

本文简单介绍了建立条件扩散模型的相关理论结果，主要包含事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）两种方案。其中，前者不需要重新训练扩散模型，可以低成本实现简单的控制；后者需要重新训练扩散模型，成本较大，但可以实现比较精细的控制。

Inference

https://kexue.fm/archives/9257

https://littlenyima.github.io/posts/18-classifier-guidance-for-diffusion-models/

https://littlenyima.github.io/posts/19-classifier-free-guidance-for-diffusion-models/