基本概念

方向导数：是一个数；反映的是 $f (x, y)$ 在 $P_{0}$ 点沿方向 $v$ 的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。

方向导数

反映的是 $f (x, y)$ 在 $P_{0}$ 点沿方向 $v$ 的变化率。

例子如下：

题目

设二元函数 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ，分别计算此函数在点 $(1, 2)$ 沿方向 $w = {3, - 4}$ 与方向 $u = {1, 0}$ 的方向导数。

解：

由于 w 不是单位向量，因此首先应对其进行单位化：

v = w^{0} = \frac{w}{∣ w ∣} = {\frac{3}{5}, - \frac{4}{5}}

计算函数增量：

∴ f (x_{0} + t v_{1}, y_{0} + t v_{2}) - f (x_{0}, y_{0}) = f (1 + \frac{3}{5} t, 2 - \frac{4}{5} t) - f (1, 2) = [(1 + \frac{3}{5} t)^{2} + (2 - \frac{4}{5} t)^{2}] - (1^{2} + 2^{2}) = t^{2} - 2 t

计算沿 $w$ 方向的导数：

∴ \frac{\partial f}{\partial w}_{(1, 2)} = t \to 0 lim \frac{t ^{2} - 2 t}{t} = - 2

计算沿 $u$ 方向的导数( $u$ 已是单位向量）：

\frac{\partial f}{\partial u}_{(1, 2)} = t \to 0 lim \frac{f ( 1 + t , 2 ) - f ( 1 , 2 )}{t} = t \to 0 lim \frac{t ^{2} + 2 t}{t} = 2

方向导数计算公式

若函数 $u = f (x, y, z)$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处可微，则函数 $f (X)$ 在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处沿任一方向 $l^{0} = (cos α, cos β, cos γ)$ 的方向导数存在，且为：

\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} cos α + \frac{\partial u}{\partial y} cos β + \frac{\partial u}{\partial z} cos γ

其中，各导数均为在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处的值。

偏导数

$f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 与 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 的含义

由于二元函数的两个偏导数就是函数沿两个坐标轴方向的方向导数，而依方向导数的定义知方向导数是函数沿给定方向的变化率，所以有

$f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 反映的是函数 $f (x, y)$ 沿 $x$ 轴方向的变化率

$f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 反映的是函数 $f (x, y)$ 沿 $y$ 轴方向的变化率

二元函数偏导数的几何意义

∵ f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = f^{'} (x, y_{0})_{x = x_{0}}

且

z = f (x, y_{0}) = {z = f (x, y) y = y_{0}

即 $z = f (x, y_{0})$ 是曲面 $z = f (x, y)$ 与平面 $y = y_{0}$ 的交线

而一元函数在某点导数的几何意义是曲线在该点切线斜率

$∴ f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 是 $z = f (x, y)$ 与 $y = y_{0}$ 的交线在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 处切线 $T_{x}$ 的斜率

即 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = tan α$ ，其中 $α$ 为切线 $T_{x}$ 与 $x$ 轴正向的夹角

类似地有 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 是 $z = f (x, y)$ 与 $x = x_{0}$ 的交线在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ 处切线 $T_{y}$ 的斜率

即 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = tan β$ ，其中 $β$ 为切线 $T_{y}$ 与 $y$ 轴正向的夹角

偏导函数

偏导数与偏导函数的关系：

偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。

若 $z = f (x, y)$ 在平面区域 $D$ 内每一点均存在偏导数，则偏导数是关于点的函数，称为偏导函数，记作

\frac{\partial f}{\partial x}, f_{x}^{'}, f_{1}^{'} 或 \frac{\partial z}{\partial x}, z_{x}^{'}, z_{1}^{'} z_{x}^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ _{x} z}{Δ x}

\frac{\partial f}{\partial y}, f_{y}^{'}, f_{2}^{'} 或 \frac{\partial z}{\partial y}, z_{y}^{'}, z_{2}^{'} z_{y}^{'} = Δ y \to 0 lim \frac{Δ _{y} z}{Δ y}

全微分

(1) 全微分的微分形式为：

d z ∣_{(x_{0}, y_{0})} = f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) d y

(2) 全微分函数：

d z = f_{x}^{'} (x, y) d x + f_{y}^{'} (x, y) d y

(3) n元函数全微分：设 $u = f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，则有

d u = f_{x_{1}}^{'} d x_{1} + f_{x_{2}}^{'} d x_{2} + \dots + f_{x_{n}}^{'} d x_{n}

求下列函数的全微分：

z = x y^{3} + x^{3} y

解：

∵ z_{x}^{'} = y^{3} + 3 x^{2} y, z_{y}^{'} = 3 x y^{2} + x^{3}

∴ d z = z_{x}^{'} d x + z_{y}^{'} d y = (y^{3} + 3 x^{2} y) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y

梯度

梯度是一个向量；既有大小，也有方向。

1、定义：设 $z = f (x, y)$ 在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 处存在偏导数 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})$ 和 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})$ ，则称向量 ${f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})}$ 为 $f (x, y)$ 在 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 的梯度，记作

\nabla f_{P_{0}}, \nabla z_{P_{0}}, grad f_{P_{0}} 或 grad z_{P_{0}}

$∴$ 依定义有 $\nabla f_{P_{0}} = grad f_{P_{0}} = {f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})}$

2、梯度函数：若 $f (x, y)$ 在 $D$ 内处处存在偏导数，则称
$\nabla f = {f_{x}^{'} (x, y), f_{y}^{'} (x, y)}$ 为 $f (x, y)$ 在 $D$ 内的梯度函数

(1) 梯度的大小： $∣\nabla f ∣ = [f_{x}^{'} (x, y)]^{2} + [f_{y}^{'} (x, y)]^{2}$

(2) 梯度的方向：
设 $v = {v_{1}, v_{2}}$ ( $∣ v ∣ = 1$ ) 是任一给定方向，则对 $\nabla f$ 与 $v$ 的夹角 $θ$ 有：

\frac{\partial f}{\partial v}_{P_{0}} = f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) v_{1} + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) v_{2}

= {f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})} \cdot {v_{1}, v_{2}}

= \nabla f_{P_{0}} \cdot v = ∣\nabla f ∣_{P_{0}} cos θ

几何意义

函数 $z = f (x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。

设 $f (x, y) = x y^{2}$ ，求 $f (x, y)$ 在点 $(1, - 1)$ 处沿任意方向 $v = {v_{1}, v_{2}}$ ( $∣ v ∣ = 1$ ) 的方向导数，并指出方向导数的最大值和取得最大值方向的单位向量；

解：

∵ f_{x}^{'} (x, y) = y^{2}, f_{y}^{'} (x, y) = 2 x y

∴ \frac{\partial f}{\partial v}_{(1, - 1)} = f_{x}^{'} (1, - 1) v_{1} + f_{y}^{'} (1, - 1) v_{2} = v_{1} - 2 v_{2}

因为沿梯度方向的方向导数最大，并且最大方向导数为梯度的长度，而

\nabla f_{(1, - 1)} = {f_{x}^{'} (1, - 1), f_{y}^{'} (1, - 1)} = {1, - 2}, ∣\nabla f ∣_{(1, - 1)} = 5

$∴ f (x, y)$ 在 $(1, - 1)$ 点方向导数最大值为 $5$

取得最大值方向的单位向量为：

v = \frac{\nabla f _{(1, - 1)}}{∣\nabla f ∣ _{(1, - 1)}} = \frac{{ 1 , - 2 }}{5} = {\frac{1}{5}, - \frac{2}{5}}

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方向导数与梯度