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对于向量的三维旋转问题，给定旋转轴和旋转角度，用罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式可以得出旋转后的向量。另外，罗德里格斯旋转公式可以用旋转矩阵表示，即将三维旋转的轴-角（axis-angle）表示转变为旋转矩阵表示。 向量投影（Vector projection） 向量 \(a\) 在非零向量 \(b\) 上的向量投影指的是 \(a\) 在平行于向量 \(b\) 的直线上的正交投影。结果是一个平行于 \(b\) 的向量，定义为 \(\mathbf{a}_1=a_1\hat{\mathbf{b}}\) ，其中， \(\mathbf{a}_1\) 是一个标量，称为 \(a\) 在 \(b\) 上的标量投影， \(\hat{\mathbf{b}}\) 是与 \(b \) 同向的单位向量。 \(a_1=\left\Vert\mathbf{a}\right\Vert\cos\theta=\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{b}}=\mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}}{\left\Vert\mathbf{b}\right\Vert}\)...

为什么要进行相机标定？ 先说结论： 建立相机成像几何模型并矫正透镜畸变 。 建立相机成像几何模型 ：计算机视觉的首要任务就是要通过拍摄到的图像信息获取到物体在真实三维世界里相对应的信息，于是，建立物体从三维世界映射到相机成像平面这一过程中的几何模型就显得尤为重要，而这一过程最关键的部分就是要得到相机的 内参和外参 （后文有具体解释）。 矫正透镜畸变 ：我们最开始接触到的成像方面的知识应该是有关小孔成像的，但是由于这种成像方式只有小孔部分能透过光线就会导致物体的成像亮度很低，于是聪明的人类发明了透镜。虽然亮度问题解决了，但是新的问题又来了：由于透镜的制造工艺，会使成像产生多种形式的 畸变， 于是为了去除畸变（使成像后的图像与真实世界的景象保持一致），人们计算并利用 畸变系数 来矫正这种像差。（虽然理论上可以设计出不产生畸变的透镜，但其制造工艺相对于球面透镜会复杂很多，so相对于复杂且高成本的制造工艺，人们更喜欢用脑子来解决……） 相机标定的原理...

问题：两条平行线可以相交于一点 在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。 然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。 欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为 \((x,y)\) 。 如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会 \((∞,∞)\) ，在欧氏空间，这变得没有意义。 平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。 方法：齐次坐标 简而言之，齐次坐标就是用 \(N+1\) 维来代表 \(N\) 维坐标 我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量 \(w\) 来形成2D齐次坐标，因此，一个点 \((X,Y)\) 在齐次坐标里面变成了 \((x,y,w)\) ，并且有 \[X = \frac{x}{w} \qquad Y = \frac{y}{w}\] 例如，笛卡尔坐标系下 \((1，2)\)...

这是一篇尝试改变LLM「范式」的文章：当前主流的LLM架构都是「自回归」的，通俗地理解就是必须「从左到右依次生成」。这篇文章挑战了这一范式，探索扩散模型在 LLMs 上的可行性，通过 随机掩码 - 预测 的逆向思维，让模型学会「全局思考」。 论文： [2502.09992] Large Language Diffusion Models 背景 主流大语言模型架构：自回归模型 (Autoregressive LLMs) 过去几年， 自回归模型（Autoregressive Models, ARMs）一直是大语言模型(LLM)的主流架构​。典型的自回归语言模型以Transformer解码器为基础，按照从左到右 的顺序依次预测下一个词元(token)。 形式化地，自回归模型将一个长度为 \(N\) 的文本序列 \(X=(x_1, x_2, ..., x_N)\) 的概率分解为各位置的条件概率连乘积​： \[P_{\theta}(x_1, x_2, \dots, x_N) = \prod_{i=1}^{N} P_{\theta}(x_i \mid x_1, x_2, \dots,...

引言 Diffusion模型近年来在图像生成这一连续域任务中取得了显著成果，展现出强大的生成能力。然而，在文本生成这一离散域任务中整体效果仍不尽如人意，未能在该领域引起广泛关注。 去年，一篇研究离散扩散模型在文本生成的文章《Discrete Diffusion Modeling by Estimating the Ratios of the Data Distribution》获得ICML 2024的Best Paper，引发了学术界的广泛兴趣，也激发了新一轮的研究热潮。随后在2025年，越来越多高校和企业也开始积极探索基于Diffusion的文本生成方法。其中，近期备受关注的Block Diffusion也成功入选ICLR oral，进一步推动了该方向的发展。...

💡 扩散模型：通过加噪的方式去学习原始数据的分布， 从学到的分布中去生成样本 DDPM 关键点： 1. 正向加噪是离散时间马尔可夫链：从 \(x_0\) 逐步加噪得到 \(x_1,x_2,...,x_T\) ；在合适的噪声调度与足够大的 \(T\) 下， \(x_T\) 近似服从 \( N(0,I) \) 的各向同性高斯。 2. 每一步噪声方差 \(β_t\) 满足 \(0<β_t<1\) ，通常随 \(t\) 增大；因此 \(q(x_t|x_{t-1}) \) 的均值缩放系数 \(\sqrt{1-β_t} \) 逐渐减小。 3. 训练通过最大化对数似然的变分下界（ELBO）来学习反向过程 \( p_θ(x_{t-1}|x_t)\) ，并将其参数化为高斯分布（神经网络预测均值/噪声或 score）。 4. 将目标写成 score/DSM 形式时，loss 的权重与对应噪声层的方差尺度（如 \(1-\bar{α}_t\) 或相关量）有关；采样通常是按学习到的反向转移逐步生成（祖先采样），与经典 Langevin MCMC 更新形式不同，但可在 SDE 视角下统一理解。...

ControlNet应该算是2023年文生图领域最重要的工作，它让文生图模型Stable Diffusion实现了文本之外的可控生成，让AI绘画实现了质的飞跃。这篇文章我们将简单总结一下ControlNet技术细节。 模型设计 ControlNet的模型结构如下所示，这里是直接复制一份SD的上半部分：Encoder和中间的Middle Block。 ControlNet的输入和原始的SD一样，包括noisy latents、time embedding以及text embedding。除此之外，ControlNet还需要引入额外的condition，这个condition是和原图一样大小的图像，比如canny边界图或者人体骨架图。这里并没有像SD那样采用VAE对condition进行编码，而...