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76. 最小覆盖子串 题目 给定两个字符串 s 和 t ，长度分别是 m 和 n ，返回 s 中的 最短窗口 子串 ，使得该子串包含 t 中的每一个字符（ 包括重复字符 ）。如果没有这样的子串，返回空字符串 "" 。 测试用例保证答案唯一。 示例 1： 输入：s = "ADOBECODEBANC", t = "ABC" 输出："BANC" 解释：最小覆盖子串 "BANC" 包含来自字符串 t 的 'A'、'B' 和 'C'。 示例 2： 输入：s = "a", t = "a" 输出："a" 解释：整个字符串 s 是最小覆盖子串。 示例 3: 输入: s = "a", t = "aa" 输出: "" 解释: t 中两个字符 'a' 均应包含在 s 的子串中， 因此没有符合条件的子字符串，返回空字符串。 提示： m == s.length n == t.length 1 <= m, n <= 10 5 s 和 t 由英文字母组成 题解 这是一个经典的 滑动窗口 (Sliding Window) 问题 我们需要维护一个动态的窗口 [left, right] ： 右移扩大 ：不断移动...

基于文章 《Elucidating the Design Space of Diffusion-Based Generative Models》 来统一扩散模型框架 通用扩散模型框架推导 加噪公式 Flow Matching的一步加噪公式 \[\mathbf{x}_t=(1-t)\mathbf{x}_0+t\varepsilon\] 写成概率分布形式： \[p(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_0)=\mathcal{N}(\mathbf{x}_t;(1-t)\mathbf{x}_0,t^2\mathbf{I})\] Score Matching的一步加噪公式 \[\mathbf{x}_t=\mathbf{x}_0+\sigma_t\varepsilon \] 写成概率分布形式： \[p(\mathbf{x}_t|\mathbf{x}_0)=\mathcal{N}(\mathbf{x}_t;\mathbf{x}_0,\sigma_t^2\mathbf{I})\] DDPM/DDIM的一步加噪公式...

Diffusion Models from SDE 连续扩散模型 (Continuous Diffusion Models) 将传统的离散时间扩散过程扩展到连续时间域,可以被视为一个随机过程，使用随机微分方程(SDE)来描述。其前向过程可以写成如下形式： [公式] 其中， f(x,t) 可以看成偏移系数， g(t) 可以看成是扩散系数， dw 是标准布朗运动。这个SDE 描述了数据在连续时间域内如何被噪声逐渐破坏。 这个随机过程的逆向过程存在（更准确的描述：下面的逆向时间SDE具有与正向过程SDE相同的联合分布）为 [公式] 前面我们得到了扩散过程的逆向过程可以用一个SDE描述(逆向随机过程),事实上，存在一个确定性过程 (用ODE描述)也是它的逆向过程 (更准确的描述：这个ODE过程的在任...

问题表示 有很多概率问题，尤其是独立重复实验问题，如果用生成函数的方法来做，会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例，它又被形象地叫做“醉汉问题”，其本质上是一个二项分布，但是由于取了极限，出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题： 考虑实数轴上的一个粒子，在 t=0 时刻它位于原点，每过一秒，它要不向前移动一格（+1），要不就向后移动一格（1），问 n 秒后它所处位置的概率分布。 不难发现，这个问题跟二项分布是雷同的。如果把这个粒子形象比喻成一个“喝醉酒的人”，那么上面的走法就类似于一个完全不省人事的醉汉走路问题了。（当然，醉汉是在三维空间走路的，这里简单起见，只描述了一维...

💡 Score based generative model SMLD的关键点： 正式开始介绍之前首先解答一下这个问题：scorebased 模型是什么东西，微分方程在这个模型里到底有什么用？我们知道生成模型基本都是从某个现有的分布中进行采样得到生成的样本，为此模型需要完成对分布的建模。根据建模方式的不同可以分为隐式建模（例如 GAN、diffusion models）和显式建模（例如 VAE、normalizing flows）。和上述的模型相同，scorebased 模型也是用一定方式对分布进行了建模。具体而言，这类模型建模的对象是概率分布函数 log 的梯度，也就是 score function，而为了对这个建模对象进行学习，需要使用一种叫做 score matching 的技术，这也...

💡 随机微分 在DDPM中，扩散过程被划分为了固定的T步，还是用DDPM中的类比来说，就是“拆楼”和“建楼”都被事先划分为了T步，这个划分有着相当大的人为性。事实上，真实的“拆”、“建”过程应该是没有刻意划分的步骤的，我们可以将它们理解为一个在时间上连续的变换过程，可以用随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）来描述。 为此，我们用下述SDE描述前向过程（“拆楼”）： [公式] 相信很多读者都对SDE很陌生，笔者也只是在硕士阶段刚好接触过一段时间，略懂皮毛。不过不懂不要紧，我们只需要将它看成是下述离散形式在 [Math] 时的极限： [公式] 再直白一点，如果假设拆楼需要1天，那么拆楼就是 [Math] 从 t=0 到 t=1 的变化过程，每一...

问题定义 多元二次多项式，维度为 n ，那么可以用以下公式描述该函数： [Formula] 其中 a_{i,j} 为二次项系数，共有 n^2 项， 1≤i,j≤n ，且所有的 a 不全为0，即 ∃a_{i,j}≠0 ; b_k 为一次项系数，共 n 项， 1≤k≤n ; c 为常数项。 记 f(x)=[x_1,x_2,...,x_n]^T ，则上述函数可以写作二次型的形式： 转化过程中A,b满足： A 为n阶对称方阵， A_{i,j}=a_{i,j} 因为 ∃a_{i,j}≠0 ，A不为零矩阵 b_i=b_i 为了后续计算简便，我们将二次型稍作改动： [Formula] 我们的目标就是寻找该函...

基本概念 方向导数：是一个数；反映的是 f(x,y) 在 P_0 点沿方向 v 的变化率。 偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。 偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。 梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。 方向导数 反映的是 f(x,y) 在 P_0 点沿方向 v 的变化率。 例子如下： 题目 设二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，分别计算此函数在点 (1, 2) 沿方向 w=\{3, 4\} 与方向 u=\{1, 0\} 的方向导数。 解： ...

调和级数记住下面的公式就够了： [Formula] 证明方法就是下面这张图

一、泊松分布 日常生活中，大量事件是有固定频率的。 某医院平均每小时出生3个婴儿 某公司平均每10分钟接到1个电话 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉 某网站平均每分钟有2次访问 它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？ 有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。 泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。 [Formula] 上面就是泊松分布的公式。等号的左边， P 表示概率， N 表示某种函数关系， t 表示时间， n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1...

概述 HiPPO（Highorder Polynomial Projection Operators）是目前大热的structured state space model (S4)及其后续工作的backbone. State space mode主要是控制学科里的内容，最近被引入深度学习领域来解决长距离依赖问题。长距离依赖建模的核心问题是如何通过有限的memory来尽可能记住之前所有的历史信息。当前的主流序列建模模型（即Transformer和RNN) 存在着普遍的遗忘问题 fixedsize context windows: Transformer的window size通常是有限的，一般来说quadratic的attention最多建模到大约10k的token就到计算极限了 vanish...