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生成器 什么是生成器？ 通过列表生成式，我们可以直接创建一个列表，但是，受到内存限制，列表容量肯定是有限的，而且创建一个包含100万个元素的列表，不仅占用很大的存储空间，如果我们仅仅需要访问前面几个元素，那后面绝大多数元素占用的空间都白白浪费了。 所以，如果列表元素可以按照某种算法推算出来，那我们是否可以在循环的过程中不断推算出后续的元素呢？这样就不必创建完整的list，从而节省大量的空间，在Python中， 这种一边循环一边计算的机制，称为生成器：generator 生成器是一个特殊的程序，可以被用作控制循环的迭代行为，python中生成器是迭代器的一种，使用 yield 返回值函数，每次调用 yield 会暂停，而可以使用 next() 函数和 send() 函数恢复生成器。 生成器类似于返回值为数组的一个函数，这个函数可以接受参数，可以被调用，但是，不同于一般的函数会一次性返回包括了所有数值的数组，生成器一次只能产生一个值，这样消耗的内存数量将大大减小，而且允许调用函数可以很快的处理前几个返回值，因此生成器看起来像是一个函数，但是表现得却像是迭代器 python中的生成器...

概述 python采用的是 引用计数 机制为主， 标记-清除 和 分代收集 两种机制为辅的策略。 引用计数 Python语言默认采用的垃圾收集机制是『引用计数法 Reference Counting 』，该算法最早George E. Collins在1960的时候首次提出，50年后的今天，该算法依然被很多编程语言使用。 『引用计数法』的原理是：每个对象维护一个 ob_ref 字段，用来记录该对象当前被引用的次数，每当新的引用指向该对象时，它的引用计数 ob_ref 加 1 ，每当该对象的引用失效时计数 ob_ref 减 1 ，一旦对象的引用计数为 0 ，该对象立即被回收，对象占用的内存空间将被释放。 它的缺点是需要额外的空间维护引用计数，这个问题是其次的，不过最主要的问题是它不能解决对象的“循环引用”，因此，也有很多语言比如Java并没有采用该算法做来垃圾的收集机制。 引用计数案例 import sys class A(): def __init__(self): '''初始化对象''' print('object born id:%s'...

列表和元组总结 列表和元组都是 一个可以放置任意数据类型的有序集合 ，他们有以下共同点 列表和元组中的元素可以任意，并且都可以嵌套。 列表和元组都支持索引，且都支持负数索引，-1表示最后一个元素，-2表示倒数第二个元素 列表和元组都支持切片操作 都支持in关键词 都可以使用 .index() 、 .count() 、 sorted() 和 enumerate() 等方法 两者之间的相互转换，list()和tuple() 但是他们也是有区别 列表是动态的，长度大小不固定，可以随意地增加、删减或者改变元素（mutable） 元组是静态的，长度大小不固定，无法增删改，想要对已有的元组做任何“改变”，就只能开辟一块内存，创建新的元组 列表和元组存储方式的差异 由于列表是动态的；元组是静态的，不可变的。这样的差异，势必会影响两者存储方式。我们可以来看下面的例子： >>> l = [1, 2, 3] >>> l.__sizeof__() 64 >>> tup = (1, 2, 3) >>> tup.__sizeof__() 48...

概述 HiPPO（High-order Polynomial Projection Operators）是目前大热的structured state space model (S4)及其后续工作的backbone. State space mode主要是控制学科里的内容，最近被引入深度学习领域来解决长距离依赖问题。长距离依赖建模的核心问题是如何通过有限的memory来尽可能记住之前所有的历史信息。当前的主流序列建模模型（即Transformer和RNN) 存在着普遍的遗忘问题 fixed-size context windows: Transformer的window size通常是有限的，一般来说quadratic的attention最多建模到大约10k的token就到计算极限了 vanishing gradient: RNN通过hidden state来存储历史信息，理论上能记住之前所有内容，但实际上的effective memory大概是<1k个token的level，可能的原因是gradient vanishing HiPPO 通过数学方法分析来得到closed-form...

泊松分布 日常生活中，大量事件是有固定频率的。 某医院平均每小时出生3个婴儿 某公司平均每10分钟接到1个电话 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉 某网站平均每分钟有2次访问 它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？ 有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。 泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。 \[P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^n e^{-\lambda t}}{n!}\] 上面就是泊松分布的公式。等号的左边， \(P\) 表示概率， \(N\) 表示某种函数关系， \(t\) 表示时间， \(n\) 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 \(P(N(1) = 3)\) 。等号的右边，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。 接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。 \[P(N(2) = 0) = \frac{(3 \times 2)^0 e^{-3 \times 2}}{0!}...

基本概念 方向导数：是一个数；反映的是 \(f(x,y)\) 在 \(P_0\) 点沿方向 \(v\) 的变化率。 偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的 方向导数 ，因此二元函数就有两个偏导数。 偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。 梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。 方向导数 反映的是 \(f(x,y)\) 在 \(P_0\) 点沿方向 \(v\) 的变化率。 例子如下： 题目 设二元函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2\) ，分别计算此函数在点 \((1, 2)\) 沿方向 \(w=\{3, -4\}\) 与方向 \(u=\{1, 0\}\) 的方向导数。 解： 由于 \(w\) 不是单位向量，因此首先应对其进行单位化： \[v = w^0 = \frac{w}{|w|} = \left\{ \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right\}\] 计算函数增量： \[\begin{aligned} \therefore f(x_0 + tv_1,...

问题表示 有很多概率问题，尤其是独立重复实验问题，如果用生成函数的方法来做，会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例，它又被形象地叫做“醉汉问题”，其本质上是一个二项分布，但是由于取了极限，出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题： 考虑实数轴上的一个粒子，在 \(t=0\) 时刻它位于原点，每过一秒，它要不向前移动一格（ \(+1\) ），要不就向后移动一格（ \(-1\) ），问 \(n\) 秒后它所处位置的概率分布。 不难发现，这个问题跟二项分布是雷同的。如果把这个粒子形象比喻成一个“喝醉酒的人”，那么上面的走法就类似于一个完全不省人事的醉汉走路问题了。（当然，醉汉是在三维空间走路的，这里简单起见，只描述了一维的。）这是一个独立重复实验，每秒的行走可用函数描述为 \(\frac{1}{2}(z+z^{-1})\) ，于是 \(n\) 秒后的运动分布情况可以用 \[\frac{1}{2^n}(z+z^{-1})^n\] 来描述， \(z^i(i=-n,-n+1,\dots,n-1,n)\) 的系数表示粒子位于 \(i\) 的概率。 💡...

序言 极大似然估计与贝叶斯估计是统计中两种对模型的参数确定的方法，两种参数估计方法使用不同的思想。 前者来自于频率派，认为参数是固定的，我们要做的事情就是根据已经掌握的数据来估计这个参数；而后者属于贝叶斯派，认为参数也是服从某种概率分布的，已有的数据只是在这种参数的分布下产生的。 所以，直观理解上，极大似然估计就是假设一个参数 \(θ\) ，然后根据数据来求出这个 \(θ\) . 而贝叶斯估计的难点在于 \(p(θ)\) 需要人为设定，之后再考虑结合MAP（maximum a posterior）方法来求一个具体的 \(θ\) . 所以极大似然估计与贝叶斯估计最大的不同就在于是否考虑了先验，而两者适用范围也变成了：极大似然估计适用于数据大量，估计的参数能够较好的反映实际情况；而贝叶斯估计则在数据量较少或者比较稀疏的情况下，考虑先验来提升准确率。 预知识 为了更好的讨论，本节会先给出我们要解决的问题，然后给出一个实际的案例。这节不会具体涉及到极大似然估计和贝叶斯估计的细节，但是会提出问题和实例，便于后续方法理解。 问题前提 首先，我们有一堆数据...

k-d树（k-dimensional树的简称），是一种分割k维数据空间的数据结构。主要应用于 多维空间关键数据的搜索 （如：范围搜索和最近邻搜索）。 应用背景 SIFT算法中做特征点匹配的时候就会利用到k-d树。而特征点匹配实际上就是一个通过距离函数在高维矢量之间进行相似性检索的问题。针对如何快速而准确地找到查询点的近邻，现在提出了很多高维空间索引结构和近似查询的算法，k-d树就是其中一种。 索引结构中相似性查询有两种基本的方式：一种是范围查询（range searches），另一种是K近邻查询（K-neighbor searches）。范围查询就是给定查询点和查询距离的阈值，从数据集中找出所有与查询点距离小于阈值的数据；K近邻查询是给定查询点及正整数K，从数据集中找到距离查询点最近的K个数据，当K=1时，就是最近邻查询（nearest neighbor searches）。...

PCA PCA的思想 PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是 \(n\) 维的，共有 \(m\) 个数据 \((𝑥(1),𝑥(2),...,𝑥(𝑚))\) 。我们希望将这 \(m\) 个数据的维度从 \(n\) 维降到 \(n'\) 维，希望这 \(m\) 个 \(n'\) 维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从 \(n\) 维降到 \(n'\) 维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这 \(n'\) 维的数据尽可能表示原来的数据呢？ 我们先看看最简单的情况，也就是 \(n=2\) ， \(n'=1\) ,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向， \(u_1\) 和 \(𝑢_2\) ，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出， \(𝑢_1\) 比 \(𝑢_2\) 好。 为什么 \(𝑢_1\) 比 \(𝑢_2\)...

模型介绍 Logistic Regression 虽然被称为回归，但其实际上是分类模型，并常用于二分类。Logistic Regression 因其简单、可并行化、可解释强深受工业界喜爱。 Logistic 回归的本质是：假设数据服从这个分布，然后使用极大似然估计做参数的估计。 Logistic 分布 Logistic 分布是一种连续型的概率分布，其 分布函数 和 密度函数 分别为： \[F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}}\\ f(x)=F^{'}(x)=\frac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}\] 其中， \(\mu\) 表示位置参数， \(\gamma\) 为形状参数。我们可以看下其图像特征： Logistic 分布是由其位置和尺度参数定义的连续分布。Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似，但是 Logistic 分布的尾部更长，所以我们可以使用 Logistic...

什么是自组织映射？ 一个特别有趣的无监督系统是基于 竞争性学习 ，其中输出神经元之间竞争激活，结果是在任意时间只有一个神经元被激活。这个激活的神经元被称为 胜者神经元（winner-takes-all neuron） 。这种竞争可以通过在神经元之间具有 横向抑制连接 （负反馈路径）来实现。其结果是神经元被迫对自身进行重新组合，这样的网络我们称之为 自组织映射（Self Organizing Map，SOM） 。 拓扑映射 神经生物学研究表明，不同的感觉输入（运动，视觉，听觉等）以 有序的方式 映射到大脑皮层的相应区域。 这种映射我们称之为 拓扑映射 ，它具有两个重要特性： 在表示或处理的每个阶段，每一条传入的信息都保存在适当的上下文（相邻节点）中 处理密切相关的信息的神经元之间保持密切，以便它们可以通过短突触连接进行交互 我们的兴趣是建立人工的拓扑映射，以神经生物学激励的方式通过自组织进行学习。 我们将遵循 拓扑映射形成的原则 ：“拓扑映射中输出层神经元的空间位置对应于输入空间的特定域或特征”。 建立自组织映射 SOM的主要目标是将任意维度的输入信号模式 转换...